Целью этого курса является изложить некоторые классические результаты теоретической информатики, которые сочетают в себе (по возможности) разные качества
- формулировку и доказательство можно понять за ограниченное время, у нас имеющееся
- результат достаточно фундаментальный для того, чтобы практическим программистам стоило про него знать
- результат не общеизвестный (последнее можно будет скорректировать по ходу дела)
Примерный перечень возможных тем:
- понятие универсальной функции (хранимой программы) и диагональная конструкция алгоритмически неразрешимых проблем (перечислимого неразрешимого множества)
- конкретные модели и доказательство неразрешимости конкретных задач (подстановки в словах = проблема тождества слов в полугруппах)
- теорема Клини о неподвижной точке и self-referential конструкции
- понятие сводимости как средство доказательства неразрешимости и полиномиальной сводимости как средства сравнения сложности
- case study: потоки в сетях, сведение к ним (двудольного) паросочетания, вероятностный и детерминированный полиномиальные алгоритмы
- правила доказательства свойств программ: примеры
- вероятностные алгоритмы: пример анализа времени работы (быстрая сортировка)
- пример результата из теории сложности: что значит и почему BPP содержится в $ \Sigma_2 $
- теория смыкается с практикой: регулярные выражения и конечные автоматы
- алгебра и computer science: разделение секрета, коды Рида–Соломона
- алгебра и computer science: IP=PSPACE
- пример из теории кодирования: границы Гилберта и Шеннона
- пример из теории информации: шенноновская энтропия как граница для средней длины префиксного (или даже однозначного) кода
- колмогоровская сложность (пример результата: теорема о сложности пары)
- PCP: эквивалентность проверки доказательства и gap reduction
- доказательства с двумя пруверами: пример, когда квантовая механика позволяет перейти границу для классической
- псевдослучайные генераторы: почему тестирование равносильно предсказанию
